2020年高考数学江苏卷必刷试卷六（带解析版）

江苏卷06-2020年高考数学必刷试卷（解析版）
数学试题I 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x≤0}，则M∩N＝____________． 答案：{－1，0}　 解析：由N＝{x|－1≤x≤0}，M＝{－1，0，1}，得M∩N＝{－1，0}． 2. 命题“∃x＞1，使得x2≥2”的否定是“____________”． 答案：∀x＞1，使得x2＜2　 解析：本题主要考查特称命题的否定是全称命题． 3. 已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为z.若2z＝z＋2－3i，则z＝____________． 答案：2－i　 解析：设z＝a＋bi，由已知条件，得2a＋2bi＝a＋2－(b＋3)i，则2a＝a＋2，2b＝－(b＋3)，则a＝2，b＝－1，则z＝2－i. 4. 现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为________． 答案：　 解析：4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，有(A＋B，C＋D)，(A＋C，B＋D)，(A＋D，B＋C)，(C＋D，A＋B)，(B＋D，A＋C)，(B＋C，A＋D)共6个基本事件，A，B两人恰好乘坐在同一辆车共有(A＋B，C＋D)，(C＋D，A＋B)2个基本事件，则所求事件的概率为. 5. 曲线y＝ex在x＝0处的切线方程是____________． 答案：y＝x＋1　 解析：k＝y′＝e0＝1，切点坐标为(0，1)，则切线方程为y＝x＋1. 6. 如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是__________． 答案：30　 解析：这列数的第一项是3，第二项是6，第三项是30. 7. 定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(－1)＝______________． 答案：－1　 解析：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，f(－1)＝－f(1) ＝－1，f(0)＋f(－1)＝0－1＝－1. 8. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为____________． 答案:±2　解析：a1，a2，a3，a4，a5的平均数为a3，而a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，由方差公式，得4d2＋d2＋d2＋4d2＝40，d2＝4，则d＝±2. 9. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥AB1D1D的体积为________ cm3. (第9题) 答案：3　 解析：三棱锥AB1D1D的体积＝×××2×3＝3(cm3)． 10. 已知α∈，β∈，cos α＝，sin(α＋β)＝－，则cos β＝__________． 答案：－　 解析：由α∈，cos α＝，得sin α＝.又β∈，α∈，sin(α＋β)＝－，得cos(α＋β) ＝－，则cos β＝cos[(α＋β) －α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－. 11. 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k(x＋1)有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是__________． 答案：　 解析：方程f(x)＝k(x＋1)有两个不同的实数根，说明y＝k(x＋1) 与y＝f(x)的图象有两个交点，画出函数f(x)的图象，y＝k(x＋1)是过(－1，0)的动直线，可得k的取值范围是. 12. 圆心在抛物线y＝x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为____________． 答案：(x±1)2＋＝1 解析：抛物线2y＝x2，则该抛物线的准线方程为y＝－.设圆心坐标为(a，b)，由题意知解得则圆的半径r＝1，圆的标准方程为(x±1)2＋＝1. 13. 已知点P是△ABC内一点(不包括边界)，且＝m＋n，m，n∈R，则(m－2)2＋(n－2)2的取值范围是____________． 答案：　 解析：点P是△ABC内一点(不包括边界)，且＝m＋n，可得作出可行域，可知点E(2，2)到可行域的最小距离为，最大距离为2，则(m－2)2＋(n－2)2的取值范围是. 14. 已知a＋b＝2，b＞0，当＋取最小值时，实数的a值是____________． 答案：－2　 解析：＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，当且仅当a＝－2，b＝4时等号成立． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2acos A. (1) 求A的大小；

(2) 若·＝，求△ABC的面积． 解：(1) (解法1)在△ABC中，由正弦定理及bcos C＋ccos B＝2acos A， 得sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin Acos A，(3分) 即sin A＝2sin Acos A， 因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A＝，(6分) 所以A＝.(8分) (解法2)在△ABC中，由余弦定理及bcos C＋ccos B＝2acos A， 得b·＋c·＝2a·，(3分) 所以a2＝b2＋c2－bc， 所以cos A＝＝.(6分) 因为A∈(0，π)，所以A＝.(8分) (2) 由·＝cbcos A＝，得bc＝2，(11分) 所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝×2sin 60°＝.(14分) 16.(本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.若E，F分别为PC，BD的中点．求证：
(1) EF∥平面PAD；

(2) EF⊥平面PDC. 证明：(1) 连结AC，因为正方形ABCD中，F是BD的中点，则F是AC的中点． 又E是PC的中点，所以在△CPA中，EF∥PA.(3分) 因为PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， 所以EF∥平面PAD.(6分) (2) 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD， 又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.(8分) 又PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA. 因为EF∥PA，所以EF⊥CD.(10分) 又PA＝PD＝AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD. 又EF∥PA，所以EF⊥PD.(13分) 而CD∩PD＝D，所以EF⊥平面PDC.(14分) 17. (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3，1)在椭圆上，△PF1F2的面积为2，点Q是PF2的延长线与椭圆的交点． (1) ① 求椭圆C的标准方程；

② 若∠PQF1＝，求QF1·QF2的值；

(2) 直线y＝x＋k与椭圆C相交于A，B两点．若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值． 解：(1) ① 由条件，点P(3，1)在椭圆＋＝1上，△PF1F2的面积为2，得＋＝1，c＝2.(2分) 又a2＝b2＋c2，所以a2＝12，b2＝4， 所以椭圆的标准方程为＋＝1.(4分) ② 当∠PQF1＝时， 有(6分) 所以QF1·QF2＝.(8分) (2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得4x2＋6kx＋3k2－12＝0.(10分) x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝.(12分) 因为以AB为直径的圆经过坐标原点，则·＝x1x2＋y1y2＝k2－6＝0，解得k＝±，此时Δ＝120＞0，满足条件．因此k＝±.(14分) 18. (本小题满分16分) 如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB＝20 m，广场的一角是半径为16 m的扇形BCE绿化区域．为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计)，点M在线段AD上(不与端点重合)，并且与曲线CE相切；
另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角∠NBE＝θ，总造价为W元． (1) 试将W表示为θ的函数W(θ)，并写出cos θ的取值范围；

(2) 如何选取点M的位置，能使总造价W最小． 解：(1) 过N作AB的垂线，垂足为F；
过M作NF的垂线，垂足为G. 在Rt△BNF中，BF＝16cos θ，则MG＝20－16cos θ. 在Rt△MNG中，MN＝.(4分) 由题意得＝16，(6分) 因此，W(θ)＝2a·＋16a，(7分) cos θ∈.(9分) (2) W′(θ)＝－16a＋8a· ＝8a·. 令W′(θ)＝0，得cos θ＝，设锐角θ1满足cos θ1＝，θ1∈， 因为θ∈，所以θ＝，(12分) 当θ∈时，W′(θ)＜0，W(θ)单调递减；

当θ∈时，W′(θ)＞0，W(θ)单调递增．(14分) 所以当θ＝时，总造价W最小，最小值为a，此时MN＝8，NG＝4，NF＝8， 因此当AM＝4 m时，能使总造价最小．(16分) 19. (本小题满分16分) 在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1. (1) 求证：数列{an＋n}为等比数列；

(2) 记bn＝an＋(1－λ)n，且数列{bn}的前n项和为Tn.若T3为数列{Tn}中的最小项，求λ的取值范围． (1) 证明：∵ an＋1＝3an＋2n－1，∴ an＋1＋n＋1＝3(an＋n)． 又a1＝2，∴ an＞0，an＋n＞0，故＝3， ∴ {an＋n}是以3为首项，公比为3的等比数列．(4分) (2) 解：由(1)知an＋n＝3n，∴ bn＝3n－nλ.(6分) ∴ Tn＝31＋32＋…＋3n－(1＋2＋3＋…＋n)λ ＝(3n－1)－λ.(8分) 若T3为数列{Tn}中的最小项，则对∀n∈N*有(3n－1)－λ≥39－6λ恒成立， 即3n＋1－81≥(n2＋n－12)λ对∀n∈N*恒成立．(10分) 1° 当n＝1时，有T1≥T3⇒λ≥；

2° 当n＝2时，有T2≥T3⇒λ≥9；
(12分) 3° 当n≥4时，n2＋n－12＝(n＋4)(n－3)＞0恒成立， ∴ λ≤对∀n≥4恒成立． 令f(n)＝， 则f(n＋1)－f(n)＝＞0对∀n≥4恒成立， ∴ f(n)＝在n≥4时为单调递增数列． ∴ λ≤f(4)，即λ≤.(15分) 综上，9≤λ≤，即λ的取值范围为.(16分) 20. (本小题满分16分) 已知函数f(x)＝x－ln x，g(x)＝x2－ax. (1) 求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；

(2) 令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图象上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；

(3) 若存在x∈(0，1]，使f(x)≥成立，求实数a的最大值. 解：(1) f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝1. 当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增， f(x)的最小值为f(t)＝t－ln t；
(1分) 当0＜t＜1时，f(x)在区间(t，1)上为减函数，在区间(1，t＋1)上为增函数， f(x)的最小值为f(1)＝1. 综上，当0＜t＜1时，m(t)＝1；
当t≥1时，m(t)＝t－ln t．(3分) (2) h(x)＝x2－(a＋1)x＋ln x，对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，不妨取x1＜x2，则x1－x2＜0，则由＞1，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2， 变形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．(5分) 令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋ln x， 则F(x)＝x2－(a＋2)x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增， 故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，(7分) ∴ 2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立． ∵ 2x＋≥2，当且仅当x＝时取“＝”， ∴ a≤2－2，即a的取值范围为(－∞，2－2]．(10分) (3) ∵ f(x)≥， ∴ a(x＋1)≤2x2－xln x. ∵ x∈(0，1]，∴ x＋1∈(1，2]， ∴ 存在x∈(0，1]，使得a≤成立． 令t(x)＝，则t′(x)＝.(12分) 令y＝2x2＋3x－ln x－1，则由y′＝＝0可得x＝或x＝－1(舍)． 当x∈时y′＜0，则y＝2x2＋3x－ln x－1在上单调递减；

当x∈时y′＞0，则y＝2x2＋3x－ln x－1在上单调递增． ∴ y＞ln 4－＞0， ∴ t′(x)＞0在x∈(0，1]上恒成立． ∴ t(x)在(0，1]上单调递增． ∴ a≤t(1)，即a≤1.(15分) ∴ 实数a的最大值为1.(16分) 数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵A＝，B＝，设M＝AB. (1) 求矩阵M；

(2) 求矩阵M的特征值． 解：(1) M＝AB＝＝.(5分) (2) 矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝＝(λ－2)(λ－3)－2. 令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4， 所以矩阵M的特征值为1或4.(10分) B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的极坐标方程为ρsin＝m.若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值． 解：曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x. 即(x－1)2＋y2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆．(3分) 直线l的极坐标方程是ρsin＝m，即ρcos θ＋ρsin θ＝m， 化为直角坐标方程为x＋y－2m＝0.(6分) 因为直线l与曲线C有且只有一个公共点， 所以＝1，解得m＝－或m＝. 所以，所求实数m的值为－或.(10分) C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
解不等式：|x－1|＋2|x|≤4x. 解：原不等式等价于 或或(6分) 解得x∈∅；

解得≤x≤1；

解得x＞1. 所以原不等式的解集为.(10分) 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是线段PC的中点． (1) 求异面直线AP与BE所成角的大小；

(2) 若点F在线段PB上，使得二面角FDEB的正弦值为，求的值． 解：(1) 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形， 侧棱PD⊥底面ABCD， 所以DA，DC，DP两两垂直，故以{，，}为正交基底， 建立空间直角坐标系Dxyz. 因为PD＝DC，所以DA＝DC＝DP， 不妨设DA＝DC＝DP＝2， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)． 因为E是PC的中点，所以E(0，1，1)． 所以＝(－2，0，2)，＝(－2，－1，1)， 所以cos〈，〉＝＝， 从而〈，〉＝. 因为异面直线AP与BE所成角的大小为.(4分) (2) 由(1)可知，＝(0，1，1)，＝(2，2，0)，＝(2，2，－2)． 设＝λ，则＝(2λ，2λ，－2λ)，从而＝＋＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设m＝(x1，y1，z1)为平面DEF的一个法向量， 则即 取z1＝λ，则y1＝－λ，x1＝2λ－1. 所以m＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF的一个法向量．(6分) 设n＝(x2，y2，z2)为平面DEB的一个法向量， 则即 取x2＝1，则y2＝－1，z2＝1. 所以n＝(1，－1，1)为平面BDE的一个法向量．(8分) 因为二面角FDEB的正弦值为， 所以二面角FDEB的余弦值为， 即|cos〈m，n〉|＝， 所以＝，＝， 化简得4λ2＝1. 因为点F在线段PB上，所以0≤λ≤1， 所以λ＝，即＝.(10分) 23．（本小题满分10分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响．现由甲先投． (1) 求甲获胜的概率；

(2) 求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望． 解：(1) 设甲第i次投中获胜的事件为Ai(i＝1，2，3)，则A1，A2，A3彼此互斥． 甲获胜的事件为A1＋A2＋A3. P(A1)＝；

P(A2)＝××＝；

P(A3)＝××＝. 所以P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋ ＋＝. 答：甲获胜的概率为.(4分) (2) X所有可能取的值为1，2，3. 则P(X＝1)＝＋×＝；

P(X＝2)＝＋×××＝；

P(X＝3)＝××1＝. 即X的概率分布列为
X 1 2 3 P (8分) 所以X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.(10分) 以下内容为“高中数学该怎么有效学习？” 首先要做到以下两点：
1、先把教材上的知识点、理论看明白。买本好点的参考书，做些练习。如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。

2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念）
然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。

最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）
       其次，先看笔记后做作业。有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

   做题之后加强反思。

学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

 主动复习总结提高。

进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。

  积累资料随时整理。

要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

  精挑慎选课外读物。

初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则不大相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然，也不要自立门户，另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。

  配合老师主动学习。

高中学生学习主动性要强。小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；
老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

  合理规划步步为营。

高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间， 注意事项 我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。

​ 数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。

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