任意角三角函数概念的分析及应用

北京 韩静波

三角函数是高中数学重要和基本的数学概念之一，它定义了一种新的运算，构建了一类最典型的周期函数.数学概念反映数学对象的本质属性，因此新课标、新教材重视数学概念的教学，高考重视对数学概念的考查.本文基于对三角函数概念及其在三角函数知识体系中地位的分析，探讨三角函数概念的应用.

由三角函数的定义，我们可以看出:

(1)三角函数的定义建立了角α与其终边上除坐标原点外任意一点P的坐标(x,y)的关系，具体地，可以根据P的坐标(x,y)求出sinα，cosα，tanα，也可以用α的三角函数值和P到原点O的距离r写出P的坐标，即(rcosα,rsinα)；

(2)如图，以α的终边在第一象限为例，当r=1时，sinα=y，cosα=x，当x=1时，tanα=y，此时sinα，cosα，tanα可以分别看作线段MP，OM，QT的长度，可以理解为sinα，cosα，tanα的几何意义，其本质就是sinα，cosα，tanα的三角函数线，当α终边在其他象限时，sinα，cosα，tanα可以看作线段的长度或线段长度的相反数，但是都可以从几何角度研究sinα，cosα，tanα；

(3)从运动变化的角度看，三角函数的定义刻画了点做圆周运动时，坐标与对应的角的函数关系，因此对于圆周上的动点，可以以角为自变量刻画其变化规律.另外，利用三角函数定义可以用三角函数模型描述现实生活和其他学科中的周期变化规律的问题.

在高中阶段，三角函数部分知识的结构一般是“任意角与弧度—三角函数的定义—诱导公式—图象与性质(周期性、单调性、奇偶性、最大值与最小值等)—三角恒等变换—应用”.从知识的逻辑上，在任意角和弧度制的基础上，定义了任意角的三角函数，并根据三角函数定义推导出三角函数的相关运算公式，并以三角函数定义为基础，借助三角函数运算，研究了三角函数的图象和性质；
借助三角函数运算，用三角函数的图象和性质，研究某些三角函数型的图象和性质.从知识体系上，任意角与弧度制是三角函数的基础，三角函数的概念是三角函数运算和三角函数图象与性质的知识根源，它能反映很多三角函数问题的本质，从思维上，三角函数作为一种特殊的函数，函数思想应该贯彻三角函数学习的始终，用函数的观点思考问题，用函数的图象和性质解决问题.因此从三角函数的定义和三角函数的图象与性质出发研究与三角函数相关的问题，体现知识本质和数学思维，是一种重要的策略.例如下题：

【例1】(2020·北京卷·9)已知α,β∈R，则“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】解决此题的关键在于理解“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”和“sinα=sinβ”的本质.所以如何理解抽象符号是解题的关键，面对这样相对新颖且综合的问题，需要站在三角函数整个知识框架下，以及明确研究三角函数问题基本策略的宏观视角下，探究问题本质.根据上述三角函数知识体系的梳理，从三角函数的定义和三角函数的图象与性质出发去思考此题是解决此题的基本策略，也是面对新颖情境以不变应万变的策略.

【解析】“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”,

若k=2m+1(m∈Z)，即k为奇数，则α=(2m+1)π-β,

若k=2m(m∈Z)，即k为偶数，则α=2mπ+β.

所以α与π-β终边相同，即α与β终边关于y轴对称或α与β终边相同,

或α-β=2mπ，即在数轴上α与β关于相差2π的整数倍.

根据三角函数的定义:

“sinα=sinβ”⟺α与β终边关于y轴对称或α与β终边相同，

根据y=sinx的图象和性质:

综上所述，

方法一：利用三角函数定义，“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”与“sinα=sinβ”都等价于α与β终边关于y轴对称或α与β终边相同，所以选择C.

由上述可以看出，抽象的符号语言“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”和“sinα=sinβ”使题目情境新颖、综合，但是考查内容的知识体系是不变的，思考三角函数问题的方式是有规律的，抓住三角函数的定义和三角函数的图象与性质体现知识本质和思维，由此可以看出三角函数定义在三角函数知识体系中的重要地位.

三角函数的概念在三角函数知识体系中地位非常重要，它能反映很多问题的本质，因此很多情况下从三角函数定义出发能帮助我们抓住问题的本质.通过上述对三角函数概念的分析，可以知道三角函数概念意义丰富深刻，可从不同的角度理解，建立知识的联系，接下来从以下几个角度探索任意角三角函数概念的应用：

(一)从“数”和“形”的角度

任意角的三角函数是借助平面直角坐标系定义的，定义体现了数与形的结合，因此我们既可以从“数”的角度又可以从“形”的角度应用任意角三角函数的定义研究问题，而且研究问题过程中“数”和“形”是紧密结合的.

1.“数”的角度

在平面直角坐标系中，三角函数的定义建立了任意角与其终边上除坐标原点外任意一点坐标的数量关系，根据上面分析，我们既可以用角α终边上任意一点P(除原点)的坐标(x,y)表示角α的三角函数值，又可用角α的三角函数值和点P到原点O的距离r表示点P的坐标.

从上述问题可以看出，从“数”的角度，我们可以进行角与其终边上任意一点(除原点)坐标的关系，进而可以将角的研究转化为其终边上点的坐标的研究，也可以将点坐标的研究转化为角的研究，这也是数形结合的过程，从这个角度思考问题，是从问题的本质思考，可以帮助我们透过现象看本质.

2.“形”的角度

根据三角函数定义，若取α终边与单位圆的交点P， 则sinα，cosα分别为P的纵、横坐标,进一步过P作PM垂直x轴于M，则|sinα|=PM，|cosα|=OM，从某种意义上，可以将对sinα，cosα的研究转化为对PM，OM的研究.对于tanα，作单位圆与x轴垂直的切线，切点记为Q，切线与α终边交于点T，则|tanα|=TQ，从某种意义上，可以将对tanα的研究转化为对TQ的研究.总之，可以将三角函数值的研究转化为几何问题.

【分析】研究数学问题应该思考研究对象的本质是什么，即从定义出发，因此首先思考sinα，α，tanα的本质是什么？根据三角函数定义和弧度制定义，可将sinα，tanα转化为坐标，将α转化为弧长，将坐标和弧长转化为同类对象，即可再将坐标转化为长度，因此利用单位圆，将sinα，tanα转化为线段长，将α转化为弧长，即将代数问题转化为几何问题.另外，从代数运算角度解决问题较困难，例如sinα-α不易化简，但可以利用函数y=sinα-α的性质比较sinα和α大小.

【解析】如图，设α的终边与单位圆交点为P，单位圆与x轴正半轴交点为A，过P作PM垂直x轴于M，过A作AT垂直x轴交α的终边于点T.

设P，T的坐标分别为(x1,y1)，(1,y2)，

因为S△AOP

从上述问题可以看出，从“形”的角度，可以将三角函数值赋予几何意义，将三角函数值的研究转化为对线段的研究，这也是数形结合的过程，从这个角度思考问题，可以把三角函数的问题转化为更直观的问题，进而帮助笔者透过现象看本质.

(二)从运动变化角度

在数学内部，如图，从运动变化的角度看，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，点P的坐标可以看成是角α的函数，可以以角α为自变量刻画点P的运动变化规律，也可以利用角α刻画点P在不同位置时坐标的关系.

1.函数的角度

对于做圆周运动的动点，可以利用角α刻画其运动变化规律，即用角α为自变量建立函数关系，利用函数定量研究问题中的运动变化规律.

【分析】问题为运动变化问题，图形的变化可以看成是C的圆周运动引起的，因此根据三角函数定义，可以用变量∠COP作为自变量，用函数刻画图形的运动变化，从而将几何中的运动变化问题转化为函数问题.

由三角函数定义，得BC=sinx，OB=cosx，

因为四边形ABCD是矩形，

所以AD=BC=sinx，

从上述问题可以看出，对于几何中的运动变化问题，若图形的运动变化可以看成是由点的圆周运动引起的，则根据三角函数定义可以用角作为自变量用函数刻画图形的运动变化，因此可将问题转化为函数问题.

2.坐标变换的角度

点的旋转变换可以看成是点从一个点做圆周运动到另外一点，因此可以利用三角函数定义建立变换前后两点坐标的关系.

【例5】(2022·海淀高三期末)已知函数f(x)=2x，g(x)=logax.若对于f(x)图象上的任意一点P，在g(x)的图象上总存在一点Q，满足OP⊥OQ，且|OP|=|OQ|，则实数a=( )

【解析】设P的坐标为(x0,y0),

所以|OP|=|OP″|，且OP⊥OP″,

所以点Q的轨迹为双曲线,

从上述问题可以看出，利用三角函数定义是研究点的旋转变换的一种有效方法，更进一步，图形的旋转变换本质是图形上每一点的旋转变换，因此利用三角函数定义可以研究图形的旋转变换.

(三)从数学建模角度

在现实生活和其他学科中，存在大量的圆周运动和周期现象，三角函数是刻画圆周运动和描述周期变化规律问题的重要模型，因此根据三角函数定义，可以用三角函数建立数学模型，将研究现实生活和其他学科问题转化为数学问题.

【例7】(2019年人教A版必修一第238页例2)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m,转盘直径为110 m,设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min.

(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm,求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式;

(2)求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度;

(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位:m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).

(2)37.5 m；

【例8】(2019年人教A版必修一第241页例2)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；
卸货后，在落潮时返回海洋.如下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报.

时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0∶005.09∶182.518∶365.03∶067.512∶245.021∶422.56∶125.015∶307.524∶004.0

(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值(精确到0.001 m).

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久?

(3)某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船这一天在2∶00开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4 h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域?

(2)货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；
或在下午13时左右进港，下午18时左右出港，每次可以在港口停留5小时左右；

(3)最好在6.6时之前停止卸货，将船使向较深的水域.

上述两道题分别为教材中的圆周运动问题与周期变化规律问题，对于现实生活和其他学科中的此类问题，均可以根据三角函数定义，建立数学模型，用三角函数刻画现实生活和其他学科中的圆周运动或周期变化规律问题.

通过上述三角函数概念的应用可以看出：第一，可以在“数”和“形”两个方面应用三角函数的概念分析问题；
第二，可以利用三角函数概念分析数学内部的一类运动变化问题——圆周运动；
第三，在现实生活和其他学科中，可以利用三角函数概念对圆周运动和周期变化规律问题建立数学模型，将实际问题转化为数学问题.

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