《复变函数A（改）》教学大纲

下面是小编为大家整理的《复变函数A（改）》教学大纲,供大家参考。

　

　 复变函数 A 课程教学大纲

　 一、课程基本信息 课程编号：201411033 课程中文名称：复变函数 A

　课程英文名称：Complex Function A 课程性质：自然科学与技术基础课程 开课专业：数学专业或强理的工科专业 开课学期：4 总学时：56

　 （全部为理论学时）

　总学分：3.5 二、课程目标 复变函数是数学专业一门主要的专业必修课，是数学分析的后续课程。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的理论和方法，为学习有关后续课程和数学知识的发展奠定必要的数学基础。

　同时培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力， 从而为从事教学、科研及其他实际工作打好基础。

　三、教学基本要求 本课程要求牢固掌握解析函数、柯西积分公式、级数、留数及其应用、分式线性变换等内容。要求一般掌握整函数与亚纯函数、解析开拓、调和函数及狄里克莱问题等内容。教学中要求抓住问题的实质，把具体的数学对象的数学背景与数学内涵讲清楚。具体为：

　（1）了解复函数的概念及性质，正确认识解析函数的特性，深刻了解多值函数的内涵，解决多值函数函数值得计算问题； （2）掌握复变函数积分、复级数的一些重要性质；了解解析函数性质在实际中的简单应用； （3）掌握留数定理，并利用其计算三种典型的实积分，以及在利用复函数计算实积分时，应能够处理多值函数的积分计算； （4）掌握保形映射的性质，会进行常见区域的保性映射；了解黎曼定理。

　 四、教学内容与学时分配 1

　复数与复变函数

　(4 学时) 1.1 复数及其集合表示

　 复数域， 复平面， 复球面 1.2 复平面的拓扑

　 区域的概念 曲线 熟练掌握复数的各种表示方法及其运算。了解区域的概念。了解复变函数的概念。掌握复变函数的极限和连续的概念。

　2 解析函数

　(14 学时) 2.1 解析函数

　连续性与极限， 复变函数的导数， 解析函数的概念， 柯西黎曼条件 2.2 初等函数

　指数函数，对数函数，幂函数。三角函数，双曲函数，反三角函数 了解复变函数的导数及复变函数解析的概念。掌握复变函数解析的充要条件。了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。

　了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质， 了解多值函数的支点与割线。

　 3 复变函数积分

　(6 学时) 3.1 柯西定理

　 复变函数积分的定义， 积分存在的条件及其计算法和性质，

　柯西定理 3.2 柯西积分公式 柯西积分公式， 解析函数的高阶导数公式， 莫拉雷定理 掌握复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分。掌握柯西积分定理，掌握柯西积分公式和高阶导数公式。了解解析函数无穷阶可导的性质。

　4 级数

　(10 学时) 4.1 级数和序列的基本性质

　复数项数列的极限， 复数项级数的概念， 幂级数的概念， 收敛圆与收敛半径

　 4.2

　泰勒展式

　 解析函数的泰勒展式，零点的定义与判别方法，解析函数的唯一性 4.3

　洛朗展式

　 函数展开成洛朗级数， 孤立奇点的定义与分类， 解析函数在无穷远的性质， 整函数与亚纯函数 掌握泰勒级数的收敛半径， 掌握洛朗展开定理及孤立奇点的分类，掌握将简单的函数在其孤立奇点附近展开为洛朗级数的间接法，了解整函数与亚纯函数的定义与性质。

　5 留数

　(12 学时) 5.1 一般理论

　留数的定义及留数定理， 留数的计算规则 5.2 留数计算的应用

　用留数定理计算计算几类实积分，亚纯函数的零点与极点的个数，鲁歇定理 了解留数的概念，掌握极点处留数的求法， 掌握留数定理， 掌握用留数求简单闭曲线积分的方法，会用留数求一些实积分， 会使用鲁歇定理。

　6 保形映射

　(10 学时) 6.1 单叶解析函数的映射性质

　单叶解析函数的定义，解析函数的导数的几何意义 6.2 分式线性函数及其映射性质

　分式线性函数的定义，分式线性函数的保形性、保圆性、保对称性，两个特殊的分式线性映射 6.3 黎曼定理

　黎曼定理及边界对应概念，几个保形映射的例子 掌握解析函数的保角性质，掌握线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性，会求一些简单区域（如：平面、半平面，角形域，圆，带形域等）之间的保形映射。

　五、教学方法及手段 本课程教学方法和教学手段以理论教学（课堂讲授）为主，以黑板板书与现代教育手段相结合的教学方法；并在教学活动中，采用对比教学法、数学软件几何化教学法等方法。

　 六、实验（或）上机内容 无 七、前续课程、后续课程 前续课程：《微积分》 后续课程：《微分方程》、《积分变换》、《泛函分析》等课程 八、参考教材及学习资源 [1] 余家荣. 复变函数（第三版）。高等教育出版社，2000 [2] 钟玉泉. 复变函数论(第三版)。高等教育出版社，2004 [3] A. F. Beardon. Complex Analysis. Springer-Verlag, 1979 九、考核方式 本课程的考核成绩完全由期末考试成绩确定。

　教学基本要求项 项 考核形式 占总成绩的比例 全部知识点 闭卷，笔试 100%

　撰写人签字：

　 院（系）教学院长（主任）签字：

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