高压输电线路宽频散射响应高效求解方法

王磊磊，张壮壮，吴豫，吕中宾，王东晖，李媛，陆德坚

（1.国网河南省电力公司电力科学研究院，河南郑州 450052；
2.国网河南省电力公司，河南郑州 450052；
3.北京森馥科技股份有限公司，北京 102218）

随着我国经济的快速发展，各省市及地区对能源的需求量不断增大，加速了含超高压及特高压在内的高压输电线路的大力建设[1-3]。然而由于线路走廊的限制，作为广域空间电大尺寸结构的高压输电线路对周边弱电系统及雷达台站的电磁干扰已不容忽视[4-6]。目前这种干扰主要表现为高压输电线路的无源干扰[7-9]。在高压输电线路无源干扰的研究中，研究者面临的关键问题之一是如何实现其宽频电磁散射特性的准确快速重构[10-13]。由于实际的高压输电线路较长，且其地形地貌复杂，通常难以通过真型实验的方式研究高压输电线路对邻近雷达台站等设施的无源干扰影响[8，9，12]。而缩比模型实验在实验过程中忽略了电导率、介电常数等参数的变化，存在一定的测量误差，同时其灵活性较差，耗时费力[11-13]。当前多采用仿真计算方法研究高压输电线路的宽频电磁散射特性。

现有矩量法（Method of Moments,MoM）[8-9,14]、多层快速多极子[15]、特征基函数[16]、一致性绕射理论[17]等数值算法可用于高压输电线路电磁散射响应的准确求解，但均存在计算量过大等问题，特别是运用MoM 时，随着激励频率的增大，用于离散高压输电线路无源干扰数学模型的基函数将会变得更为离散，造成其中的矩阵计算量呈几何倍数增长，且当频率上升到吉赫兹以上，庞大的计算量将导致现有计算机的硬件资源难以满足其要求[14]。

针对以上问题，有学者首次将模型参数估计（Model-Based Parameter Estimation，MBPE）技术[18-19]引入高压输电线路宽频散射特性的快速求解中[11，13]。该方法的本质是利用矩量法等数值算法求解出一定数量采样频点的散射场，继而基于这些数据辨识MBPE 有理插值函数的待定系数，从而利用该有理内插函数快速计算出高压输电线路的宽频散射特性[11]。MBPE 技术对采样频点的位置及数量较为敏感，若采样点的位置及数量选择不合适，极有可能造成采样点的冗余，并产生宽频响应预测结果与实际结果产生较大偏差等问题。而文献[11，13]并未提出通用的频点采样方法，而是盲目地等间隔选取研究频段的采样点，这必然会造成选取的频点过多、计算精度低、稳健性低等诸多问题。另外，为提取其选择的Padé有理分式的系数，需要提取确定其函数中分子和分母的阶数，并对矩阵进行求逆操作，而该矩阵在某些情况下存在奇异性，同时该有理函数的系数只在展开点附近有效。这些原因导致了传统基于等间隔采样点方法与Padé有理函数的MBPE 技术[11，13]在高压输电线路宽频电磁散射特性快速求解中的局限性，亟需对其需要进行改进。

为此，本文引入一种基于Stoer-Bulirsch 有理函数的新MBPE 技术，并在此基础上构建一种宽频散射场频点自适应采样方法，从而提出了一种基于自适应MBPE 技术的高压输电线路宽频散射场快速预测新方法，避免了传统MBPE 技术在高压输电线路宽频散射场快速求解中存在的采样点过多、预测精度低、稳定性低等问题。并将其与传统等间隔均匀采样MBPE 技术的预测效果进行了对比分析。

由电磁场理论可知，含正弦电压源的线天线发射的电磁波会在高压输电线路金属体表面产生与激励源同频的正弦散射电磁波，因而高压输电线路在广域空间下任意位置的散射场瞬时值E(r,t)可表示为[11，13]：

式中：|E（r）|为仅与空间位置有关的散射场幅值；
ω=2πf为角频率（f为散射场频率）；
φdeg（r）为余弦函数初始相位；
r为任意位置对应的空间位置矢量。

若将式（1）散射场表示为相量，则有：

式中：φrad为弧度值，满足φrad=（90+φdeg）π/180。

在高压输电线路无源干扰研究中，通常计算固定场点的电磁散射特性，所以当场点r选定后，|E（r）|和φdeg（r）仅为频率的函数[11，13]。

MBPE 技术引入广域空间下极电大尺寸高压输电线路的宽频散射场快速求解的基本思想是从唯象层面利用有理函数表征电磁散射体等物体的内在物理机制，属于一种插值方法[20]。已在雷达散射截面的频空双内插[21]和天线方向图的恢复[18]等领域得到广泛应用，并取得了良好的模拟效果。文献[11，13]构建的高压输电线路散射场频率响应插值函数为：

式中：M，L分别为分子和分母多项式的阶数；
bi，aj分别为分子和分母多项式的系数；
s为复频率（s=jω）。

其中，PL（s）和QM（s）没有公因式，即不可约，且QM（s）≠0。

通常可令aM=1，则仅需t=M+L+1 个采样点数据即可提取式（3）的各个待求系数。其中，采用等间隔均匀选取的方式确定采样点位置，其数目人为给定，而各采样点的高压输电线路散射场利用MoM准确求解[9，11]。

为得到Padé内插函数的具体表达式，将式（3）表示为如下矩阵方程[11，13]：

利用t个采样点散射场MoM 计算值对矩阵方程式（4）—式（7）进行矩阵求逆运算后，可得到Padé有理分式的系数bi（i=0，1，…L）和aj（j=0，1，…M-1），继而基于有理插值函数（3）可快速求解出高压输电线路的宽频散射特性。

为避免传统等间隔均匀采样MBPE 技术存在的问题更好地与所提自适应采样算法结合，本文引入基于Stoer-Bulirsch 有理插值函数的MBPE 技术[22]。

2.1 基于Stoer-Bulirsch有理函数的MBPE技术

文献[20]基于Neville 算法，提出了一种无需求解有理函数式（3）系数的表格递归插值方法。该算法属于MBPE 技术，其递归关系式可精确地总结为[23]：

其初始条件为：Ei，0=0、Ei，1=yi（i=1，2，…，t）。其中，yi为散射场采样频点si的函数值。

该Stoer-Bulirsch 有理函数插值方法中所有的,k（k=1，2，…，t；
i=1，2，…，t+1-k）构成1 个递推列表[19-20]。当t为奇数时，有理函数分子和分母的阶数相等；
当t为偶数时，有理函数分子比分母的阶数高一阶。基于该方法递推t次后，即可求得高压输电线路散射场在任意频点处的精确插值结果。

2.2 自适应频率采样算法

若采样的高压输电线路散射场频点数据足够多，则可以利用Stoer-Bulirsch 有理函数插值算法求解出较为精确的高压输电线路宽频带散射特性，但为了节约计算资源和计算时间，提升相关方法的实用性，必须在满足一定精度的情况选用最少的采样频点，需要在最佳位置选择最佳采样频点。为此，本文提出并构建了高压输电线路宽频散射场采样频点的自适应采样点算法，以此实现其采样频点的智能选取，并在保证其宽频响应预测精度及稳健性的基础上，尽可能使用少的频率采样点，从而实现其宽频散射特性的准确快速求解。

所提自适应采样算法的本质为：在自适应选择的插值频点处，对比x个采样频点的高压输电线路散射场插值结果和x+1 个采样频点的高压输电线路散射场插值结果（插值结果由Stoer-Bulirsch 有理函数插值算法得出），将寻找出的误差最大的频点作为新增采样频点。如此循环对比，以此实现高压输电线路散射场采样频点的自动增加。当各插值频点上的收敛条件得到满足时，再将高压输电线路散射场的研究频段作二分处理，并将采样间隔最大区间的中点新增为采样频点。再次在高压输电线路散射场新插值序列上对比收敛特性，从而自适应加密插值频段。

本文所提自适应采样算法实现的流程如图1所示。其中，T为检验次数（通常T设置为2即可）可控制高压输电线路散射场插值区间自适应加密次数，以此保证自适应频点采样过程的稳定性。

图1 高压输电线路散射场自适应采样频点选取流程Fig.1 Flowchart for selecting adaptive frequency sampling points of scattering field of high-voltage transmission line

初始插值步长d根据是否能够产生足够插值点人为确定。相对误差e计算式为：

式中：，Ei分别为插值点si散射场的插值计算结果和基于矩量法的数值计算结果；
ε为控制误差，一般情况下，ε选取为0.01。T设置为2 即可；
而初始插值步长d根据是否能够产生足够插值点人为确定。

该自适应采样算法仅在新增采样点上利用矩量法求解其对应函数值信息，其余计算时间主要用于有理插值函数求解上，但这与计算新增采样点信息所需时间可以忽略不计。当该自适应采样算法达到最终收敛条件后，即可运用Stoer-Bulirsch 有理函数插值算法和采样频点函数值信息快速计算出高压输电线路宽频散射场的真实响应。

3.1 中波广播频段的高压输电线路散射场

文献[23-24]通过研究，发现在535～1 705 kHz 激励下，输电线路铁塔可等效为半径为2.13～4.88 m 的线天线，并形成了相关的IEEE 标准和研究结论，也被国内外学者广泛引用和采纳。本文建立了文献[23-24]提出的500 kV 双回高压输电线路散射场计算模型（模型1），如图2 所示。选择9 基输电铁塔作为研究对象，同时铁塔和地线分别等效半径为3.51 m，0.71m 的直线模型；
激励源为线天线（距地高度195 m，馈电电压1 V），位于图2 中距离x轴448 m的y轴负方向。根据文献[25]，选取坐标为（0，2000，2）观测点的高压输电线路散射场作为插值分析对象。

图2 高压输电线路散射场计算模型Fig.2 Calculation model of scattering field of high-voltage transmission line

在基于矩量法求解图2 所示高压输电线路散射场模型前，以0.1 倍波长对其进行分段，计算选取的频率间隔为15 kHz。分别基于MoM 和自适应Stoer-Bulirsch 有理函数插值法求解的高压输电线路各频点散射场如图3 所示。从图3 可知，本文所提自适应算法自动确定的采样频点数为17 个；
求解的高压输电线路散射场宽频响应数值及变化趋势与MoM 的计算结果较为吻合。

图3 基于MoM和自适应MBPE技术计算的高压输电线路散射场宽频响应结果（模型1）Fig.3 Broadband response results of scattering field of high voltage transmission line based on MoM and adaptive MBPE technique（Model 1）

为验证传统基于等间隔均匀采样MBPE 技术计算的效果，随机均匀选取13，15，18 个采样频点，并基于传统方法计算相应高压输电线路散射场的宽频响应，结果如图4 所示。从图4 可知，等间隔均匀采样MBPE 技术并不能准确反映高压输电线路的宽频散射特性。

图4 传统等间隔采样MBPE技术计算的高压输电线路散射场宽频响应结果（模型1）Fig.4 Broadband response results of scattering field of high voltage transmission line with equal interval sampling-based MBPE technique（Model 1）

为定量评价本文所提自适应MBPE 技术和传统等间隔采样MBPE 技术的计算效果，引入全局平均绝对误差（量值表示为M1）、全局平均相对误差（量值表示为M2）和全局最大相对误差（量值表示为M3）等评价指标，分别为：

式中：Ei，Ei’分别第i个频点散射场的MBPE 内插值和MoM 计算值；
n为计算频点个数。

与图3 和4 对应的3 个评价指标的计算结果如表1 所示，其中，传统等间隔采样MBPE 的计算结果从左至右分别对应图4（a）—4（c）。从表1 可知，本文所提自适应MBPE 技术的各向指标均好于传统等间隔均匀采样MBPE 技术。

表1 2种方法在算例1下的计算误差对比Table 1 Comparison of calculating errors between two methods with case 1

3.2 调幅广播收音台工作频段的高压输电线路散射场

随着激励电磁波频率的增大，高压输电线路中的铁塔细节尺寸与激励波长之比随之增大，导致IEEE 提出的铁塔线模型过于粗糙而不再适用[11]，建模过程中需要考虑高压铁塔复杂的空间桁架结构。为此，本文采用了文献[23]提出的高压输电线路无源干扰线-面混合模型（模型2）。模型为±800 kV 向家坝-上海特高压直流输电线路的线-面混合模型，其按0.1 倍波长分段。

以调幅广播收音台的工作频段526.5 kHz～26.1 MHz 为例，将从无穷远处传入的电场强度幅值为0.5 V/m 的垂直极化平面电磁波作为高压输电线路模型的激励源（鉴于高压线路及铁塔垂直于大地，以垂直极化平面波作为激励考虑最严重的无源干扰情况），选取观测点（0，2 000，2）的散射场作为插值分析对象。另外，基于MoM 计算高压输电线路散射场时，施加激励电磁波的频率间隔为0.1 MHz。

分别基于MoM 和所提自适应Stoer-Bulirsch 有理函数插值法计算的各频点散射场响应如图5 所示。从图5 可知，本文所提自适应Stoer-Bulirsch 有理函数插值法自动确定的采样频点数为93 个；
基于该方法求解的高压输电线路散射场宽频响应数值及变化趋势与MoM 计算结果较为吻合。

图5 基于MoM和自适应MBPE技术计算的高压输电线路散射场宽频响应结果（模型2）Fig.5 Broadband response results of scattering field of high voltage transmission line based on MoM and adaptive MBPE technique（Model 2）

相比于3.1 节，本节高压输电线路散射场的宽频响应更为复杂，预测精度也稍差，但总体结果还是与MoM 计算结果较为一致。同样，基于传统等间隔均匀采样MBPE 技术预测各频点的散射场（频段均分为5 段，每段等间隔随机分别选取19，20，21个频点，总共分别选取91，96，101 个频点），所得结果如图6 所示。与图5 和6 对应的M1，M2和M3计算结果如表2 所示，其中，传统等间隔采样MBPE中计算结果从左至右分别对应图6（a）—6（c）。从图6 和表2 可知，传统均匀采样MBPE 技术预测的宽频散射场及其变化趋势均与MoM 计算结果存在较大的偏差。

由图3—图6 和表1—表2 分析及计算结果可知，本文自适应MBPE 技术能合理地选择高压输电线路散射场的频点，且能保证采样频点数目较少，可准确地预测高压输电线路宽频散射场。而传统均匀采样MBPE 技术不能合理地选取采样点，稳健性较低，无法准确地重构高压输电线路的宽频散射响应。

表2 2种方法在算例2下的计算误差对比Table 2 Comparison of calculating errors between two methods with case 2

图6 传统等间隔采样MBPE技术计算的高压输电线路散射场宽频响应结果（模型2）Fig.6 Broadband response results of scattering field of high voltage transmission line with equal interval sampling-based MBPE technique（Model 2）

本文研究发现自适应采样算法选择的采样频点数目与初始插值步长存在一定的反比例相关性，但插值间隔减小并不会使采样数目明显增加。以3.1 节为例，计算分析初始插值步长与采样频点数目的关系，如表3 所示。从表3 可知，本文自适应采样算法随初始插值间隔的变化较为稳定。自适应采样算法的采样点数目会随控制误差ε的变小而增大。同样以3.1 节为例，计算分析d=0.175 MHz，T=3 时采样点数目随控制误差ε的变化，如表4 所示。控制误差ε越小，自适应Stoer-Bulirsch 有理函数插值法的精度越高，但当控制误差ε小到一定程度后，插值精度的提升可忽略不计。同时，采样点数目也会随着检验次数T的变化而变化，在d=0.175 MHz，ε=0.01 下统计结果如表5 所示。

表3 自适应采样算法插值步长与采样点数量的关系Table 3 Relationship between interpolation step of adaptive sampling algorithm and number of sample point

表4 d＝0.175 MHz，T=3时采样数目随控制误差ε 的变化Table 4 Variation of number of sampling point with ε when d ＝0.175 MHz and T=3

表5 d＝0.175 MHz，ε=0.01时采样数目随检验次数T的变化Table 5 Variation of number of sampling point with T when d＝0.175 MHz and ε=0.01

本文引入了一种基于Stoer-Bulirsch 有理函数插值法的新MBPE 技术，构建了高压输电线路散射场自适应频点采样算法，提出了一种基于自适应MBPE 技术的高压输电线路宽频散射场求解方法，并针对2 种不同频段的高压输电线路散射场进行了宽频响应预测。仿真计算结果表明，本文所提方法的全局平均误差为8.89%，而传统均匀采样MBPE 技术全局平均误差为25.63%。本文所提自适应MBPE 技术可为高压输电线路无源干扰的准确快速计算提供参考，避免传统均匀采样MBPE 技术存在的矩阵奇异、可靠性差、计算精度低等问题。

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