函数法求解圆锥曲线最值问题的教学探索

彭安录

纵览近年高考数学试卷，圆锥曲线是高考必考内容，而圆锥曲线最值问题作为对学生进行综合考查的关键知识点，在试卷中往往以把关题或压轴题的形式出现.圆锥曲线最值问题具有题型变化多样、解法灵活多变的特点，要求学生具有较强的综合解题能力，成为学生学习中的难点，也是高考的失分点.那么教师如何在课堂教学中，让学生突破这个难点，高效求解圆锥曲线最值问题呢？笔者以一节专题复习课为例进行探讨.

一、介绍背景，回顾方法

在新课标下，圆锥曲线的最值问题因考查知识量大，分析能力要求高，具有较好的区分度而广受高考命题者的青睐，成为近年来高考数学中的热点问题.最值问题解题方法较为灵活，涉及的知识面广，常常让学生感到无从下手.那么在教学中如何突破学生认知上的瓶颈呢？笔者认为在教学中引导学生捋清楚相关支撑知识和常用解法是关键的一环.圆锥曲线最值问题涉及的知识点主要有：三角形两边之和大于第三边、两点之间直线段最短、勾股定理、基本不等式、一元二次方程判别式、根与系数关系、函数单调性、三角函数的有界性、直线的斜率、直线的截距、线性规划、参数及参数方程、弦长公式等.常用的解答方法主要有：定义法、函数法、基本不等式法、切线法、参数法等.其中，函数法是指把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数表达式.通过研究这个目标函数的最值来解答题目，是求解各类最值问题的普遍方法.

二、引入例题，开展讨论

例3的解答过程巧妙地利用了椭圆的参数方程，建立起三角函数型函数，再利用三角函数的有界性达到了求解的目的.

一般情况下，当涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，若直接处理不好下手时，教师可以考虑让学生用该方法尝试解答，使学生达到认知升华.

五、反刍深化，总结提升

通过以上几个例子，我们不难发现，遇到有关圆锥曲线求最值的问题时，函数法是求解此类问题的最普遍方法.使用函数法的关键：先利用变化中不变的量或关系建立目标函数，再利用函数和不等式的性质来完成问题的解答.在解题过程中，涉及的函数最常见的是二次函数、三角函数型函数等.尤其需要注意的是变量的取值范围不能遗漏，三角函数的有界性也不能被忽视，使用基本不等式时要满足等号成立的条件等.

当然，问题的处理方式并不止一种.在教学中，教师要引导学生学会具体问题具体分析，求解过程中要多思考、多联系，合理进行转化，学会从不同角度进行分析，以优化解题策略.

另外，通过本案例的教学探究，我们不难发现，在日常教学中，如果教师能注意知識间的联系并及时总结，那么不难捅破那层遮挡在解题者与数学问题之间的窗户纸，让学生做到准确切入、快速解题，并形成“以不变应万变”的解题能力，切实提高学生的解题效率，并最终达到预期的教育教学目标.

◇责任编辑 邱 艳◇

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