如何利用十字相乘法分解因式

陈爱荣

所谓的“十字相乘法”就是借助畫十字交叉线分解系数，从而把二次三项式ax2+bx+c分解因式的方法.十字相乘法在因式分解中经常用到，它可以解答很多公式法、配方法等不能解答的问题.在运用十字相乘法分解因式时需要拆分常数项或二次项系数，并逐一核验对角线乘积的和是否等于一次项系数，若相等，则拆分成功，否则拆分不成功，需要舍弃，最后将拆分后的项按照乘积的形式书写出来，即可完成因式分解.

一、二次项系数为“1”时，拆常数项，凑一次项

例1分解因式y2-8y+15.

分析：此二项式的二次项系数为“1”，直接拆分常数项15即可.常数项15=1×15=-1×（-15）=3×5=-3×（-5），如图2所示，经过多次尝试核验，发现只有第4种情况满足条件.

分析：此题可直接拆分常数项-15，因为常数项是负数，所以拆分的因数中需要安排一个负号，这就需要核验一次项系数后确定.-15=-1×15=1×（-15）=-3×5=3×（-5），-1 15和1×（-15）的情形很容易看出不符合要求，另外两种情形如图3、图4所示；
拆分为图3核验结果为1×5+1×（-3）=2，不等于一次项系数-2，舍弃；
图4验核结果为1×（-5）+1 3=-2，等于一次项系数-2，核验正确.

评注：从以上的解题过程可以发现：当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.

二、二次项系数不为“1”时，拆两头，凑中间

例3分解因式5x2+7x-6 .

分析：此题中二次项系数不为“1”，需要拆分二次项系数和常数项系数，即5=1×5，-6=-1×6=1×（-6）=-2×3=2×（-3），如下图6-1至6-8所示，然后逐一核对对角线乘积和与一次项系数是否一致，由表1可知，图6-6的分解符合题意.

解：5x2+7x-6=（5x-3）（x+2） .

例4分解因式9+5x-4x2.

分析：此题二次项系数为负数，如果提取负号则可以转化为二次项系数为正数的情形，即9+5x-4x2=-（4x2-5x-9）.然后求解出4x2-5x-9的因式分解结果即可.二次项系数可拆分为4=1×4=2×2，常数项可拆分为-9=-1×9=1×（-9）=-3×3，如下图7-1至7-9所示，然后逐一核对对角线乘积和转化后的一次项系数（-5）是否一致.由表2可知，图7-2的分解符合题意.

评注：当二次项系数和常数项系数有多种拆分情况时，同学们需要逐一核验拆分后对角线乘积的和是否与一次项系数一致，然后舍弃所有不符合的情况，保留正确的拆分情况.此外，如果二次项系数是负数，则应先将负号提到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解.

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