应用“四卡”促进学生的阅读与思考

摘  要：在“分割等腰三角形”的阅读课教学中，借助“四卡阅读法”开展数学阅读课教学，引导学生阅读与思考，培养学生解决问题的能力，发展学生的抽象能力、推理能力等数学核心素养. 具体做法是：以先行阅读卡、合作阅读卡、课后阅读卡、反馈评价卡为载体进行阅读理解课的问题设计和活动评价，以问题链和活动链驱动学生阅读、反思和自省，进而提升学生的阅读素养，培养学生的理性精神.

关键词：数学阅读；
四卡阅读法；
数学核心素养

作者简介：万妍青（1991— ），女，中学一级教师，主要从事初中数学微专题复习教学与数学阅读理解研究.

苏霍姆林斯基曾经说过，学会学习首先要学会阅读. 数学学习离不开数学阅读，数学阅读有利于提升学生的逻辑推理能力、核心素养和高阶思维. 而数学阅读的有效开展离不开教师精心设计的课堂活动、螺旋上升的问题链和富有针对性的活动评价.

“四卡阅读法”，即以先行阅读卡、合作阅读卡、课后阅读卡、反馈评价卡为载体设计的数学阅读方法，全面涵盖了问题的设计和活动的评价. 其中，先行阅读卡、合作评价卡、课后阅读卡以“基本问题—核心问题—规律总结—变式问题”的形式进行问题设计，使问题层层递进、环环相扣，从而帮助学生提取阅读材料中的关键信息. 而反馈评价卡以“分组合作学习学生组内互评表”及“课堂汇报（展示）活动组间互评表”展开，通过组内、组间的互评，使教师能对学情进行深入细致的分析和实证. 本文以沪教版《九年义务教育课本·数学》七年级第二学期（试用本）（以下统称“教材”）第十四章“三角形”的探究活动“分割等腰三角形”为例，阐述以“四卡阅读法”为载体设计课堂活动，提升学生的数学阅读素养和数学思维活力，进而提升学生的理性精神.

一、教学设计：借助思维导图明确内容逻辑及教学目标

1. 内容逻辑

不是所有的三角形都可以分割成两个等腰三角形，也不是所有的等腰三角形都可以分割成两个等腰三角形，它与三角形三个内角的度数有关. 当三角形三个内角满足一定关系时，可以被分割成两个等腰三角形. 教材在这两个内容之间留有空白，为探究活动的开展提供了空间. 因此，本节课的教学可以分为如下两个探究活动：一是探索并归纳将一个三角形分割成两个等腰三角形所需的条件及分割方法；
二是利用上述结论求出能分割成两个等腰三角形的等腰三角形的內角度数. 笔者通过在两个探究活动中搭建桥梁，设计了如图1所示的思维导图.

2. 教学目标

由于学生已经学习了与三角形和等腰三角形相关的知识，并经历了由实验几何获得定理的一般过程，即通过实验操作或经验积累产生对图形中性质定理的阐述，有了一定的合作、探索、交流的能力，同时具备了进一步阅读和逻辑推理的认知基础，因此设定了如下的教学目标.

（1）通过阅读、操作、观察、猜测、验证，归纳出把一个三角形分割成两个等腰三角形所需的条件及分割方法，提升学生的抽象能力.

（2）利用将一个三角形分割成两个等腰三角形所需的条件，求出能分割成两个等腰三角形的等腰三角形的内角度数，提升学生的推理能力.

（3）经历探索实践的过程，体会从特殊到一般及分类讨论思想；
通过小组探究的学习形式，增强学生的合作交流意识和应用意识.

二、教学实践：设计四类阅读卡，引导学生阅读和思考

本节课通过设计如表1所示的四类阅读卡，以问题链和活动链驱动学生阅读和思考.

1. 先行阅读卡

对于初中生而言，对先行阅读卡中内容的学习是需要教师给予指导的. 教师除了通过微信订阅号向学生推送教材第120页探究活动的微课（图2和图3）外，还需要根据推送的微课对所学知识点进行梳理，并通过完成先行阅读卡上的内容来检测自己对所学知识的掌握程度.

在先行阅读卡中，学生需要完成以下两项自主预习活动.

活动1：通过阅读教材第120页“分割等腰三角形”材料，结合微课呈现的具体内容（在△ABC中，∠BAC = 100°，∠ABC = 60°，∠ACB = 20°），判断如图4 ～ 8所示的5个图中，哪个是正确的分割方式？并说明原因.

活动2：尝试总结分割线的一般特征，并完成以下填空.

（1）用一条直线将一个三角形分成两个三角形，这条直线一定经过_________并与_________相交；

（2）如果一个三角形可以分割成两个等腰三角形，被分割的角不可能是_________；

（3）要把一个三角形分割成两个等腰三角形，通常先分割出_________个等腰三角形，再通过计算判定另外一个三角形是否是等腰三角形.

【设计意图】根据先行阅读卡中的两个探究活动，学生既可以将自己的阅读成果应用到具体问题中，也可以反思是否读懂了阅读材料. 活动1中，通过对图4 ～ 8的分析，学生可以明确分割线的特征，从而厘清思路，建立几何直观. 活动2在活动1探究的基础上，将分割线特征由符号语言和图形语言转化为文字语言. 三种语言的转化是一个不断反复的过程，通过直观构图和推理，直到问题解决，发展学生的推理能力.

2. 合作阅读卡

先行阅读卡中的两个探究活动梳理了分割线的主要特征，但是还有“是否所有的三角形都能分割成两个等腰三角形？”“能被分割成两个等腰三角形的三角形有什么共同特征？”两个问题待解决. 这两个问题的提出无疑会给学生带来更多启发，引发新的思考.

由于教材中对于此类三角形的特征并没有给出具体的活动设计，因此借助螺旋式问题链贯穿本次活动的设计.

活动3（合作探究）：如图9，已知△ABC的三个内角度数，试画出一条直线MN，将这个三角形分割成两个等腰三角形.

借助对先行阅读卡的探索，学生已经清晰地梳理了分割线的特征，因此大多数学生在分割时会避开三角形中度数最小的内角，从另外两个内角出发进行尝试，再利用三角形的内角和或外角性质及等腰三角形的判定进行推理验证，最终确定分割线的位置.

当学生确定分割线的位置后，笔者提出如下问题.

问题1：三角形的三个内角满足什么数量关系？

问题2：分割线经过哪个内角？

【设计意图】通过前面的探究，学生能较快得到“对于有一个内角是另一个内角2倍的三角形，分第三个角可得两个等腰三角形”的推论. 在推理的过程中，学生再次经历了将图形语言、符号语言转化为文字语言的过程，体验了数学结论、推理过程和策略方法的表达，体会了其中蕴含的思想方法.

活动4（合作探究）：如图10，已知△ABC的三个内角度数，试画出一条直线MN，将这几个三角形分割成两个等腰三角形.

基于活动3的探索历程，学生能自主完成活动4的探究，得出第二条推论：对于有一个内角是另一个内角3倍的三角形，分三倍角可得两个等腰三角形.

【设计意图】经历了“提出问题—画出图形—总结规律—解决问题”这样从特殊到一般的探究过程后，学生的思维过程动态地进行呈现和补充，从而加深对内容的理解，提高交流表达能力及学习兴趣. 学生在这种整体性、关联性的学习中，对知识和方法的理解更加透彻，真正做到学有所悟.

问题3：内角分别为20°，40°和120°的三角形有几种分割方法？

问题4：内角分别为30°，50°和100°的三角形为什么不能分割？

【设计意图】问题3旨在培养学生的辩证思维，依据两条推论，由40°是20°的2倍或120°是40°的3倍，学生可以从两个视角进行分割. 问题4旨在培养学生全面思考问题的习惯，尽管100°是50°的2倍，但是在分割时却无法保留最小内角，由此最小内角只有在某一范围内才可以利用推论进行三角形的分割. 因此，在推论中加上“一定条件”，可以保证推论的准确性，如表2所示.

【设计意图】通过活动3和活动4的探究，学生了解到如果一个三角形能分割成两个等腰三角形其内角的数量关系及分割线的位置. 借助活动1 ～ 4的探究和得到的推论，设计了活动5，以考查学生的类比迁移及解决问题能力.

活动5：若一个等腰三角形可被分成两个等腰三角形，求这个等腰三角形的内角度数.

课堂上，学生组成小组合作，通过操作、观察、思考，借助之前的探究规律，运用分类讨论和方程思想將问题进行分类，如表3所示.

【设计意图】根据认知心理学，问题是思维活动进行的原动力和牵引力，问题的设计关系到学生思维的深度和广度，培养学生的数学思维就是让他们学会思考、质疑和应用. 通过解决合作阅读卡中三个主题探究活动的过程，让学生经历抽象、构图和推理活动，发展学生的抽象能力、几何直观和推理能力.

3. 课后阅读卡

课后阅读卡是合作阅读卡内容的延伸和拓展，主要通过三个活动展开.

活动6：在课堂中，我们借助不完全归纳法得到了将一个三角形分割成两个等腰三角形时其内角的数量关系和分割线的位置. 试根据问题5和问题6，对活动3和活动4的结论进一步补充说明和推理论证.

问题5：如果一个三角形能分割成两个等腰三角形，除了有上述两种情况外，是否还有其他情况？尝试证明.（提示：设三个角分别为[α，β，γ]，其中[α>β].）

问题6：“在一定条件下”对结论中内角[α]的度数大小有限制，你能尝试探究出[α]的取值范围吗？试将规律补充得更加完整.

对于三角形内角关系的探索：如图11，在[△ABC]中，设[∠A=α]，[∠B=β，∠C=γ α>β].

由于[α>β]，作[∠BAD=β]，交BC于点D，则[△ABD]为等腰三角形（如图12）. 若[△ACD]为等腰三角形，则分为三种情况：[① α-β=2β?α=3β;② α-β=][γ?α=90°;③ 2β=γ.]

对于角度的限制条件的探索：① 当[γ=2β]时，因为[α>β]，所以[180°-β-2β>β]. 解得[β<45°]. ② 当[α=3β]时，因为[γ>0]，所以[180°-β-3β>0]. 解得[β<45°].

由此我们将上述推论进行进一步完善.

① 当1倍角度数小于45°时，对于有一个内角是另一个内角2倍的三角形，分第三个角可得两个等腰三角形；
对于有一个内角是另一个内角3倍的三角形，分三倍角可得两个等腰三角形.

② 任意直角三角形可以分割成两个等腰三角形.

【设计意图】由于课堂时间有限，在活动4中用不完全归纳法得到了两条推论，借由活动6将推论进一步完善. 问题5实际是课堂推论的逆命题，学生在课后可以运用演绎推理的方法论证所有情况；
问题6则是进一步探索“一定条件”的具体范围，由此提升学生的数学论证和逻辑推理能力.

活动7：尝试将如图13 ～ 15所示的直角三角形分割成两个等腰三角形. 你有什么发现？

【设计意图】活动7旨在沿用合作阅读卡中分割三角形的一般路径，来探究将直角三角形分割成两个等腰三角形的方法. 在分割时，依据“保留最小内角”的原则，利用斜边中线分割得到两个等腰三角形，再借助几何论证来验证猜想，进而培养学生逻辑思维的严谨性. 同时，这样的探究也为学生在八年级探究直角三角形的性质埋下伏笔.

活动8：等腰三角形ABC的顶角A为36°，你会将等腰三角形ABC分割成三个小等腰三角形吗？你有几种方法？

【设计意图】活动8是结论开放的问题，这样的设计有助于激发学生的创新思维. 学生依据分割规律，可以得到如图16 ～ 19所示的4种情况. 从不同的视角思考会得到不同的分割线，这也为后续的多样化评价奠定了基础.

4. 反馈评价卡

由于本节课是以教师引导、学生主导的阅读探究课，因此评价的主体需交还给学生. 学生根据组内和组间伙伴们的活动探究情况给予客观评价.

表4呈现了评价目标、评价内容、评价类型等；
表5侧重于对合作阅读卡中的三个活动的评价，主要评价组内成员在课堂中的表現；
表6侧重对课后阅读卡的三个活动的评价，主要是组间分享交流的评价.

表4  反馈评价卡

[课程名称 分割等腰三角形 评价目标 1. 检测学生对经历的“阅读理解—归纳方法—实践应用”探究过程的感悟水平；

2. 检测学生在分组合作学习过程中在参与态度、分享合作和交流表达方面的表现情况 评价内容 1. 通过阅读、操作、观察、猜测、验证，归纳出把一个三角形分割成两个等腰三角形所需的条件及分割方法；

2. 利用一个三角形分割成两个等腰三角形所需的条件，求出能分割成两个等腰三角形的等腰三角形的内角度数；

3. 经历探索实践的过程，体会从特殊到一般及分类讨论的思想；
通过小组探究的学习形式增强学生的合作交流意识 阅读类型 □知识拓展  □数学文化  ○趣味数学  □数学应用 活动类型 □教师引导型活动  ○学生主导型活动 评价主体 ○学生（自评） ○学生（互评） □教师  □家长 评价时间 □教学实施前   □教学实施中   ○教学实施后 评价类型 □诊断性评价   ○形成性评价   □总结性评价 评价项目 □单元测验  □课堂检测  ○学生的学习汇报

○课堂表现  □作业表现  □其他数学学习活动 评价结果 完成对应评价工具的填写，综合评分 ]

[课题（或作业名称）：
班级：
被评者姓名：
指导教师：
小组成员：
组长：
请在下列你认为符合被评同学相应表现的地方打“ √ ” 优秀 良好 需努力 参与态度 能积极参与小组合作学习 能努力完成小组分工的任务 分享合作 善于倾听同伴的观点 能主动提出问题或想法 能与同伴一起探讨问题和解决方案 乐于与同伴一起探讨问题和解决方案 交流表达 能清楚地表达自己的观点 能对同伴的观点进行判断、分析、质疑 ][表5  分组合作学习学生组内互评表]

[课题（或作业名称）：
班级：
被评者姓名：
指导教师：
小组成员：
组长：
请在下列你认为符合被评同学相应表现的地方打“ √ ” 优秀 良好 需努力 合作表现 同伴间能充分合作，汇报时分工明确 能对同伴的研究给予积极评价 分享合作 研究成果展示形式适当 能清晰、准确地表述汇报内容 辅助展示作品的制作生动有趣，能吸引人 交流表达 能向同学提出值得思考的问题 能尝试对同学提出的疑问进行解答 ][表6  课堂汇报（展示）活动组间互评表]

三、教学反思：用阅读卡形成任务引导学生阅读与思考，促进学生核心素养的发展

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了“会用数学的思维思考现实世界”，引导学生能够运用符号运算、形式推理等数学方法，分析、解决数学问题和实际问题，发展推理能力，建立几何直观.

回顾整节课的教学流程，先行阅读卡的内容着重研究了分割线的特征，合作阅读卡在研究了分割线特征的基础上探索了三角形内角的数量关系及等腰三角形的分割情况，课后阅读卡对于合作阅读卡中的“一定条件”从定性过渡到定量，并研究了直角三角形的分割情况；
反馈评价卡侧重评价了合作阅读卡和课后阅读卡中的6个探究活动，并采取了学生自评和互评的新形式.

本节课中，学生亲历了“阅读—猜想—合作—应用—解惑—反思—评价—改进”的过程，通过对典型问题的多角度审视与探究，感受从特殊到一般和分类讨论思想. 整个探究活动中，所有的问题都是借助已有的探究基础为了进一步深入研究或完善而产生的，通过问题驱动，学生在潜移默化中提升了发现问题、分析问题和解决问题的能力，发展了数学核心素养.

由此可见，以“四卡阅读法”为载体，整合信息、深度理解是学生数学思维提升的实现机制，关注问题联系、注重理性思考是提升学生数学思维的必要条件，以此实现学生多维度地发现和解决问题，从而激发学生思维的活力，发展数学核心素养，逐步形成理性精神.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］张勃，伍春兰. 基于“四能”的学习内容开发与实践：以“三角形分割为两个等腰三角形”的探究为例［J］. 数学通报，2019，58（8）：48-51.

［3］任小平. 初中数学课堂运用数字教材助力学生高阶思维的培养：以“分割等腰三角形”的教学为例［J］. 数字教育，2019，5（4）：64-68.

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